Análisis Matemático III

—Guías de trabajos prácticos—

Eduardo Citto — Facundo Oliva Cuneo

Respuestas a los ejercicios

Números complejos

1. 2 +i, - 2 +i, 2 i, i/2. 2. 1 + 2 i, 1, - 1 +i, 1 -i. 3. 2, 2 i, 2,i.

4. 7 +i, 3 -i, 10 +5 i, 2 -i. 5. a) 7 -i, - 1 -3 i, 14 - 5 i, (4 -11i)/17.

b) 5 + 4 i, 3 +6 i, 9 +i, (- 1 +9 i)/2. 6. - 2 (1 + 3 i)/5. 7. (25)². 8. (- 7 - 24 i).

9. (0 -i/2). 10. (- 1 ± i). 11. (- i±Ö3)/2. 12. (25)^1/2. 13. Ö2. 14. 1.

15. /////////. 16. /////////. 17. /////////. 18. /////////. 19. /////////.

20. i= eⁱ⁽^p^/2⁺^{2 k}^p⁾, i²= eⁱ⁽^p⁺^{2 k}^p⁾, i³= eⁱ⁽³^p^/2⁺^{2 k}^p⁾, i⁴= eⁱ^{2 k}^p, …

21. a) Ö2 eⁱ⁽^p^/4⁺^{2 k}^p⁾. b) 2 eⁱ⁽^p^/6⁺^{2 k}^p⁾. c) 2 eⁱ⁽⁷^p^/6⁺^{2 k}^p⁾. 22. a) 8 eⁱ⁵^p^/6.

b) (25/2)e^-ⁱ^{2 (}^{f - p}^/4); f = tg^-¹(4/3). 23. a) 2. b) Ö2 eⁱ⁷^p^/4. 24. eⁱ^p^/4; eⁱ⁵^p^/4.

25. eⁱ^p^/3; eⁱ^p; eⁱ⁵^p^/3. 26. 2 eⁱ⁷^p^/4; 2 eⁱ^p^/4; 2 eⁱ³^p^/6. 27.2 eⁱ^p^/3; 2 eⁱ^p; 2 eⁱ⁵^p^/3.

28. ³Ö2 eⁱ^p^/6; ³Ö2 eⁱ⁵^p^/6; ³Ö2 eⁱ⁹^p^/6. 29. [(- iÖ2)/2] eⁱ^p^/12; [(- iÖ2)/2] eⁱ¹³^p^/12.

Regiones del plano Z

30. recta x =- 2, 31. recta y = x/3. 32. semiplano sobre la recta y = x.

33. region fuera de C₍_-_{3, 4}₎, r = 5. 34. region fuera y sobre C₍_{1, 0}₎, r = 1.

35. anillo entre de C₍_-_1,_-₁₎, r = 3 y de C₍_-_1,_-₁₎, r = 4.

Función compleja y su derivada

36. f (z) = [x² - (y – 1)²]-i 2 x (y -1). 37. f (z) = (x² + y)² +i.

38. f (z) = [x/(x² + y)²]+i [(x² + y²- y)/(x² + y²)²].

39. f (z) = [(x² - y²⁾/(x² + y²)²]+i [x² + y²)²]+ 2 x y]/[(x² + y²)²].

40. f (z) =[x³ - 3 x y²]-i (3 x² y – y³).

41. f (z) =- 3 i (z - z*)/2 +i z z*. 42. f (z) =i [(z)²- (z*)²]/2 +i z z*

43. f (z) = [(z + z*)/2]² +i [(z - z*)/2]². 44. f (z) = z z*.

45. plano z. 46. plano z- {(0, 0)}. 47. plano z- {(x, y) / y = 0)}.

48. plano z. 49. Plano. Z.50. plano z.

51. $f '(z) en z(0, 0). 52. $f '(z) " (x, y). 53. $f '(z) solo en (0, 0).

54. $f '(z) " (x, y). 55. $f '(z) solo en z =± 1. 56. analítica en el plano z.

57. analítica en el plano z {(0, 0)}.

58. a) $f '(z) sobre la recta x = 1/2, no es analítica en ningún dominio.

b) $f '(z) sobre curva x = ± (2 x/3)^1/2 , no es analítica en ningún dominio.

59. analítica en el plano z.

60. $f '(z) solo en {(- 1, 0)}, no es analítica en ningún dominio.

61. a) analítica en el plano z.

b) $f '(z) solo en {z = (m p /2, m p)}, no es analítica en ningún dominio.

Armónicas conjugadas

62. cumple " (x, 6 x²), y = 6 x², no es un dominio.

63. " (x, y), si n = 2; " (x, x), si n ≠ 2. 64. plano z. 65. Plano z.

66. v = y - x + c. 67. v = (y²/2) - (x²/2) + c.

68. Ñu .Ñv = u'_x. v'_x+ u'_y. v'_y=- u'_x. u'_y+ u'_y. u'_x= 0.

69. Si f (z) an. Þ u'_x= v'_y y g(z) an. Þ u'_x= - v'_y Þ u'_x= - u'_x idem v,

Þ u y v son constantes. 70.//////////. 71. //////////.

Funciones elementales

72. a) w =e³ cos 4 + ie³ sen 4. b) w =e³cos 4 -i e³ sen 4.

c) w =e⁰(cos1– i sen1). d) w =e^1/2(cos (1/2) + i e^1/2sen (1/2).

73. a) w =- 1. b) w =-i. c) cos (1/2) + i sen (1/2).

74. a) z=(0, ±2 k p). b) z= (ln 4, p/2 + 2 k p). c) z= (0, p/4 +kp).

d) z= (p/4 +kp, 0). 75. a) z = (cosh^-¹2, p± 2 k p). b) z = (± 2 k p, cosh^-¹2). c) z = (0, cos^-¹ 1/2). d) z =(0, 3 p/2 + 2 k p). e) z = (0 + 2 k p, 4).

76. a) i 2 k p. b) i (2 k + 1) p. c) i (p/2 + 2 k p). d) ln (Ö4) +i (p/3 + 2 k p).

77. a) z= 2 +i (1 + 2 k p). b) z=-ln 2 + i2 m p.

c) z = lnïi 2 k pï + i (p/2 + 2 m p). 78. a) e^- ⁽ⁱ^p^/²⁺^{2 k}^p⁾.

b) e^- ⁽¹⁺ⁱ⁾ [ln (Ö4) +i ( p/6 + 2 k p)]. c) e⁽¹⁺ⁱ⁾ ^{[ln 2}⁺ⁱ^{2 k}^p^)]. d) e^p^{[ln 2}⁺ⁱ^{2 k}^p^)].

79. a) - i [ln (Ö7) +i 2 m p)]. b) [ln (Ö3) +i (1/2 + 2 m) p.

Transformaciones mediante funciones elementales

80. La franja infinita - 1 < v < 1. 81. El dominio v > 1. 82. El semiplano v >- u.

83. a) La franja semiinfinita - 1 < u < 1, v > 0.

b) el dominio u² +(v + 1/4)² > 1/16, u > 0, v < 0.

84. el dominio u² +(v + c)² > 1/4, v < 0.

85. el dominio (u - 1/2)² + v² > c², u > 0, v < 0.

86. a) el sector r < 1, 0 <q<p /2. b) el sector r < 1, 0 <q< 3 p /4.

c) el sector r < 1, 0 <q<p. 87. Espiral que pasa por (0, 0) y por (1, 0).

88. el semiplano superior excluido el semicírculo unidad, centrado en (0, 0).

89. w = [(3 z +i)/(i z + 6)]. 90. w = [(-i z +i)/(z + 1)]. 91. w =- 1/z.

92. a) z =±i. b) z = 3. 93. //////////. 94. //////////. 95. //////////.

Integración en el campo complejo

96. 1/4. 97. 11/6. 98. 13/6. 99. p/16. 100. 1/4. 101. 1/3. 102. 1/3 +i 5/3.

103. a) -i. b) i/6. c) - 4 i/3. d) 1 -ip/2.

104. a) e - 1. b) e⁽¹⁺ⁱ⁾- e. c) e⁽¹⁺ⁱ⁾- 1.

105. 1/3 + 5 i/3. 106. e⁽¹⁺ⁱ⁾- 1. 107. a) 2 p i+ 4. b) 2 p i- 4. c) 2 p i+ 4 i.

108. a) 0. b) 0.

Fórmulas integrales de Cauchy

109. 2 p i. 110. [2 p i/(1- i)] (sen 1 -i senh 1) ]. 111. 2 p i/e.

112. 2 p i/(1/3 cosh 2-cosh 1) ]. 113. 2 p i/9. 114. (p/3)cosh 3.

115. i p sec² (x₀/2). 116. p/3. 117. p/16). 118. i p (2 + e).

119. - i p (6 + 5 cos 1 + 4 sen 1). 120. 2 p. 121. 2 p. 122. 2 p.

Series de Taylor y Laurent

123. f (z) = S₀ (-)^m⁺¹[(z -p/2)^{(2 m}⁺¹⁾/(2 m + 1)!]

124. a) f (z) = S₀ (-)^m(z - 1)^m. b) ¦(z) = - 1/2S₀ (-)^m[(z + 2)/2]^m.

125. f (z) = S₁ (-)^m(m + 1) (z - 1)^m. 126. f (z) = (z - 1)²+ 2 (z - 1) + 1.

127. a) f (z) = [(1 -i)/2]S₀ (-)^m[(z -i)/(1+i)/]^m.

b) f (z) =S₀ (-)^m[(1 +i)^m/(z -i)^m⁺¹].

128. a)f (z) = S₀ z^m - S₀(z/2)^m. b) ¦(z) = - S₀ (1/z)^m⁺¹- S₀ (z/2)^m.

c) f (z) = - S₀ (1/z)^m⁺¹+ S₀ (z/2)^m⁺¹.

129. a) f (z) = - S₀ (z)^m^-¹. b) ¦(z) =S₀ (-)^m(z- 1)^m^-¹.

130. f (z) =S₁ [(z)^m^-¹]/m!. 131. f (z) =S₀ (-)^m(z^{2 (m}^-¹⁾)/(2 m + 1)!.

132. f (z) = [S₀ (-)^m(z^{2 (m}^-¹⁾)/(2 m + 1)!] - 1/z + 2/z² - 1/z³.

Ceros, polos y residuos

133. a) f (z) = ± p/2 ± k p, n = 2. b) lim₀ f (z) = 1.

134. a) z = 1, n = 1. b) z =i, n = 2; z =1, n = 4.

135. a) z = 0, n = 4. b) z = 0, n = 2; z = 1, n = 3.

136. z = 3, n = 1; z = 2, n = 2.

137. z = (1 +i Ö3)/2, n = 1; z = (1 -i Ö3)/2, n = 1. 138. z = 0, n = 2.

139. z = 0, n = 2. 140. z = 0, n = 3. 141. z = 0, n = 4.

142. a) [Res f (z), z =- 1] =- 2 . b) [Res f (z), z =p/2 ± k p] =- 1.

143. a) [Res f (z), z =- 1] = 1/4; [Res f (z), z = 1] =- 1/4.

b) [Res f (z), z =eⁱ^p^/6] =(1 -i Ö3)/6; [Res f (z), z =e⁵ⁱ^p^/6] = -(1 -i Ö3)/6;

[Res f (z), z =e⁹ⁱ^p^/6] =- 1/3. 144. a) [Res f (z), z = 0] =1/2.

b) [Res f (z), z =p/2 ± k p] =(-)^k⁺¹(p/2 ± k p).

145. a) [Res f (z), z = 0] =4. b) [Res f (z), z =p/2 ± k p] =- 1.

146. a) [Res f (z), z = 0] =0.

b) [Res f (z), z = -i] = -1/p; [Res f (z), z = 1] =1/2.

Calculo de integrales aplicando el método de los residuos

147. 2 pi. 148. 2 pi. 149. 0. 150. pi/e. 151. pi/3. 152. -2 pi. 153. 0.

154. 8 pi. 155. 2 p/3. 156. p/Ö5. 157. 2 p/3. 158. p/20. 159. p/4. 160. p/2.

161. p. 162. Ö2 p. 163. (p/2) e^-⁶. 164. (3 p/4) e^-⁶.

165. (- 2 p/Ö3) e^-^(1/2)^Ö³ sen (1/2). 166. (p/2) e^-^Ö^(1/2)sen (Ö2/2).

Mapeo Conforme

167. a) " z. b) z ≠p/2 ± k p. 168. a) "z ≠0. b) "z ≠1/2.

169. a) cuadruplica. b) triplica. 170. a) duplica. b) duplica.

171. a) f_e=1, Dq= 0. b) f_e=7.2, Dq= tg^-¹ 2/3.

172.a) f_e=1, Dq= p/4. b) f_e=e, Dq= p. c) f_e=1, Dq= 0.

Series e integrales de Fourier

173. a) impar. b) par. c) indefinida. 174. a) par. b) impar. c) impar.

175. a) f_E= 1, f_O= x. b) f_E= cosh x, f_O= senh x.

176. a) f_E= (x² + 1)/(x² - 1), f_O= 2 x/(x² - 1).

b) f_E= 1/(1 - x²), f_O=- x/(1 - x²).177. a) f_E= - cos 2 x, f_O= x cos 2 x.

b) f_E= (x²+ 1)/(x² - 1), f_O= x (x²+ 1)/(x² - 1),

178. f (x) = (4/p)S₀ sen(2 m + 1) x.

(2 m + 1)

179. f (x) = (p/2) - (4/p)S₀ cos(2 m + 1) x.

(2 m + 1)²

180. f (x) = 2S₁ (-)^m⁺¹sen(m x).

181. f (x) = (3/4) + [1/(2 p)]S₁ (-)^msen(m x).

182. f (x) = senh p + 2senh pS₁ (-)^mcos(m x) - m sen (m x).

p p m² + 1

183. f (x) = (2/p)- (4/p)S₁ (-)^mcos(2 m x).

4 m² - 1

184. f (x) = (1/2) - (1/p)S₁ sen(2 m p x).

185. f (x) = (1/2) - (4/p²)S₁ (-)^mcos(m p x).

m²

186. F(x, y) = 2 S₁(-)^{m + 1}sen(m x).

187. F(x, y) = 8 S₁(-)^m⁺^q⁺¹sen(m x) cos (q y).

q² m

188. F(w) = [2 sen (a w)]/w. 189. F(w) =(sen w)/ew, lim_e_®₀ F(w) =¥.

190. F(w) =exp (- w²/4). 191. F(w) = pe^w.

Transformada de Laplace

192. a) F(s) = 1/s + 1/(s - 1) + 1/(s - 3) + 3/(s² + 9). b) F(s) =e^k /(s - a).

193. a) F(s) = 1/s - s/(s² + 4) + 2/s². b) F(s) = [1/(2 s)] - s/[2 (s² + 4)].

194. a) F(s) = 4/[(s + 4)² + 16].

b) F(s) = (cos 1)/[(s + 1)² + 1] - [(sen 1) s]/[(s + 1)² + 1].

c) F(s) = [(2 n p t)/T]/[(s² + (2 n p t)/T)²].

d) F(s) = (s cos a – w sen a)/(s² +w²).

195. F(s) = [(s + 1)² + 1]/[(s + 1)² + 1]².

196. F(s) =e^-^s/s². 197. F(s) =e^-^{2 s}/s² + (2 e^-^s/2)/s.

198. F(s) = (e^-^s^p^/2) s/(s² + 1).

199. F(s) = (cos 1 + s sen 1) (e^-^s)/(s² + 1). 200. //////////.

201. F(s) = (1/s) (s² - 1)/(s²+ 1)². 202. F(s) = (3 - e^-^s- 2 e^-^{2 s})/s.

203. F(s) = 1/(1 + e^-^s^p) s. 204. F(s) = (4/s) (s² + 4).

205. F(s) = [(1 - e^-^s^p)/s²] - [(e^-^s^p)/s].

206. f (t) =e^-^t. 207. ¦(t) = t e^-^t. 208. f (t) =e^-^t cosh (Ö5 t).

209. f (t) = (1/2) sen 2(t - 4). 210. f (t) = (1/5) (e^-^{2 t}-e^-^{3 t}).

211. f (t) == 1/4 - (1/4) e^-^{2 t}- (1/2) t e^-^{2 t}. 212. //////////.

213. f (t) = t sen t. 214. f (t) = 2 sen t + 2 t cos t.

215. f (t) =e^{2 (t}^-¹⁾u₁-e^(t^-¹⁾u₁.

216. y = 2 (1 -cos t) + 3 sen t. 217. y = - 3 senh (2 t).

218. y = (1/4) e^t- (1/4) e^-^t. 219. y =e^k^t+ 1. 220. y = 3 e^t/3.

Funciones especiales

221. a) 1/4. b) 3/4. c) 4/3. 222. a) 6. b) 3/16. c) (2/3) G(7/4).

Solución por series de ecuaciones diferenciales

223. a) a_m₊₂= - a_m/[(m + 2) (m + 1)]. b) a_m₊₂= a_m/[(m + 2) (m + 1)].

224. a) a₂ = 0 Þ" m, a_3m_-₁= 0; a_m₊₂= 3 a_m_-₁/[(m + 2) (m + 1)], m ³ 1.

b) a₂ = a₀/2, a_m₊₂= [a_m(3 m + 1)]/[ (m + 2) (m + 1)].

225. a) a₂ = 3 a₀, a₁ = a₃, a_m₊₂= a_m [6 - m (m - 1)]/[(m + 2) (m + 1)],

a_2m₊₁= 0 si m ³ 2. b) a₂ = (1 - a₀)/6, a₃ = 1/9, a₄ = (1 + a₂)/36,

a_m₊₂= a_m(m - 1)/[3 (m + 2) (m + 1)], m ³ 3.

226. a) a_m₊₂= [- a_m(m - 2) + 1/m!]/[(m + 2) (m + 1)], m ³ 0.

b) a_m₊₃= a_m(3 m + 1)/[(m + 3) (m + 2) (m + 1)], m ³ 0.

227. a) y(x) =a₀ S₀ c^m(x – 1)^m. b) y = a₀ S₀ (-)^m(x – 1)^m. m!

228. a₀= 1, a₃= - 1/6, a₅= 1/120, a₆= 1/180.

229. a₁= 1, a₂= 1/4, a₃= - 1/24, a₄= - 11/192.

230. a₀= - 1, a₁= - 1, a₂= 1/2, a₃= - 1/6.

231. a₂= 1/4, a₄= - 1/48, a₅= 1/160, a₆= 1/1440.

232. x = 0 s. i., x = ± 1 s. r. 233. x = 0 s. r., x = 2/3 s. r.

234. a) x = 0 s. i., x = 1 s. r. b) x = 0 s. i., x = - 1 s. r.

235. x = ± 1 s. r. 236. x = 0 s. r.

237. a) n²- 1 = 0. b) n²- 3 n- 1 = 0. 238. a) n²- 3 n+ 1 = 0.

b) n²- 2 n- l²= 0. 239. n²= 0. 240. y₁ =ïxï, y₂ = ïxï^-^1/2.

241. y₁ =ïxï^1/3 (1 + x/5); y₂ = ïxï^-^1/3S₀ a_m x^m,

a_m= {7 - (3 m - 1)/[(3 m - 1)² - 1)]} a_m_-₁.

242. y₁ = S₀ a_m x^m, a_m= {(3 - m)/[m (2 m - 1)]} a_m_-₁;

y₂ = ïxï^1/2S₀ a_m x^m, a_m= { - (2 m - 5)/[2 m (2 m + 1)]} a_m_-₁.

243. y₁ =ïxï^1/2; y₂ = ïxï^1/4S₀ a_m x^m, a_m= {(4 m - 5)/[4 m (4 m - 1)]} a_m_-₁.

244. y₁ = S a_m x^m, a_m= {1/[m (2 m - 1)]} S [(j - 8)/(4^m^-^j)] a_j.

y₂ = ïxï^1/2S a_m x^m, a_m= {1/[m (2 m + 1)]} S [(2 j - 15)/(2 4^m^-^j)] a_j.

245. y₁ = ïxï^1/2, y₂ = ïxï^- ².

246. y₁ = S a_m x^m, a_m= {(-)^m/[2^{2 m}⁺¹ m (4 m - 5)]} S (-)^j 4^j (2 j + 1) a_j.

y₂ = ïxï^5/4S a_m x^m, a_m= {(-)^m/[4^m⁺¹ m (4 m + 5)]} S (-)^j 4^j (4 j + 7) a_j.

Ecuación de Legendre

247. {e₁ =1, e₂ =x, e₁ = x²-1/3, ... }.

248. P₀(x) =1, P₁(x) =x, P₂(x) =(3/2) x²-1/2, P₃(x) =(5/2) x³-(3/2) x.

249. //////////. 250. //////////. 251. //////////. 252. //////////.

253. f (x) = (3/2) x - (7/8) x³ - (935/48) x⁵.

Ecuación de Bessel

254. a) //////////. b) //////////. c) //////////. 255. a) //////////. b) //////////. c) //////////.

256. a) J₃(x) = (8/x² - 1) J₁ - (4/x) J₀.

b) J₄(x) = (48/x³ - 6/x² - 2/x) J₁ - (24/x² - 1) J₀. 257. //////////. 258. //////////. 259. a) //////////. b) //////////.

260. y(x) = A J_n(l x) + B J_-_n(l x). 261. y(x) = A J_n(Öx) + B J_-_n(Öx).

262. y(x) = A J_n(x²) + B J_-_n(x²). 263. y(x) = A x J₁ (x) + B x K₁ (x).

Problema de Sturm-Liouville

264. cos x + B sen x . 265. A_n cos (Öl_n x); l_n= n²; n =0, 1, 2, 3…

266. B_n sen (Öl_n x); l_n=(p²/4L) (1 + 2 n)², n = 1, 2, 3…

267. B_n sen (Öl_n x); l_n=n²; n = 1, 2…

268. B_n sen (Öl_n x); l_n a determinar por calculo numérico o grafico.

269. a) A_n cos (3 x). b) B_n sen (3 x). c) no hay solución.

270. a) B_n sen (Öl_n x); l_n=[(p²/2) + n p]; n = 1, 2, 3…

271. l_n=n², j_n= sen (Ön x); n = 1, 2, 3…

272. p =exp (ò1/x) =x, q =x; L = [D (p D) + q] = [D (x D) + x].

273. L ={D (cos x D)-[1/(cos² x)]}. 274. L={[D (x D)+[(x² -p²)/x]}.

275. {D [1/(1 - x²)] D + [n (n + 1)/(1 + x²)]}.

276. l_n= [(1/2) + n]², l₀¹ 0, y l_n¹ 0 " n, j_n= cos (l_n x), h = x(x - 2 p).

y = (- 128/p) S₀(-)ⁿ cos(2 n + 1) x.

(2 n + 1)⁵

277. l_n= [(1/2) + n]², l₀¹ 0 y l_n¹ 0 " n, j_n= sen (l_n x), h = x² -p².

y = (- 128/p) S₀(- )ⁿ cos(2 n + 1) x.

(2 n + 1)⁵

278. l_n=(n p/L)², l₀= 0, j_n=cos (n p/L) x, h =sen (p x/L). c ₀= - 2/p¹ 0

y l₀= 0, no hay solución.

279. l_n= [(1/2) + n]²(p/L)², l₀¹ 0 y l_n¹ 0 " n, j_n=sen (l_n x), h =sen (p/L) x.

y = 2 (L/p)² S₀(- )ⁿ⁺¹ sen[(1/2 + n)] [p/(2 L)] x.

(n + 1/2)³(n -3/2)

280. ////////. 281. a) l_n=(2 n)², l₀= 0, j_n={1, cos (2 n) x, sen (2 n) x},

h = -sen²x, c ₀= - 1/2 ¹ 0 y l₀= 0, no hay solución.

b) l_n= n², n = 0, 1, 2, … l₀= 0, j_n={1, cos n x, sen n x}, si c₀ =ò_I h 1 = 0

y = c+ S₁ [a_n cos(n x) + b_n sen(n x)], a_n y b_n coeficientes de Fourier.

Si c₀ =ò_I h 1 ¹0, l₀= 0, no hay solución.

282. l_n= n² - 1, j_n= sen (n x). 283.l_n= 1 - (n² p²), j_n= cos (n p x).

284. l_n= - n² p², j_n= e^-^x sen (n px). 285. l_n= - n², j_n= e^{2 x} sen (n x).

Conjuntos ortogonales de funciones

286. a) ||f|| =(1/3)^1/2, ||g|| = (8/15)^1/2, (f . g) = 1/4.

b) ||f|| =(1/3)^1/2, ||g|| = (1/2)^1/2, (f . g) = 1/6.

287. a) ||f|| =(1/2)^1/2, ||g|| = (1/2)^1/2, (f . g) = 1/p.

b) ||f|| = [(e² - 1)/2]^1/2, ||g|| =[(1/2) - (sen 2)/4]^1/2,

(f . g) =e [(sen 1 -cos 1)/2] +1/2. 288. //////////. 289. a) 0.b) (e² - 1)/4.

290. a) 3 - e. b) (2 p e - 4)/(p²+ 4). 291. 0.

292. a) (1, 1, 0), (- 1, 1, 0), (0, 0, 1). b) (1/2, 0, 2), (1/17) (- 20, 5, 5), (0, 0, 1).

293. a) //////////. b) //////////. 294. e₁= 1, e₂ = x, e₃ = x² - 1/3.

295. a) e₁= e^x, e₂ = e^-^x- [2/(e² - 1)] e^x.

b) e₁= e^x, e₂ = e^{2 x}-(2/3)[(e² + e² + 1)/(e + 1)] e^-^x.

c) e₁= 1, e₂ = 2 x-1, e₃= e^x - 4 e -6 x (e² - 3) + 10.

296. a) impar. b) par. c) no definida. 297. a) par. b) impar.

c) impar. 298. a) no definida.

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

299. a) u = C₁ e^p ^x C₂ e^{p y}. b) u = C₁ e^p ^x C₂ e^-^{p y}. c) u = C₁ x^p C₂ y^p.

300. a) u = C₁ e^p ^x C₂ e^{p y}. b) u = C exp {(p/2) [(x²/a) + (y²/b)]}.

c) u = C₁ exp (x² + p x) C₂ exp (y² + p y).

301. a) u = X Y, X = A cos (l x) + B sen (l x), Y = C₁ exp (l y) +C₂ exp (- l y).

b) u = C₁ exp (l x)C₂ exp [(1/l) y]. c) u = C₁ exp (- p/x)C₂ exp [- y³/p].

302. u = 4 e^-^{3 [(x/3)}^-^(y/2)]. 303. u = 8 e^{- 3}^{(4 x}⁺^y).

304. u = 3 e^-^{(5 x}⁺^{3 y)} + 2 e^-^{(3 x}⁺^{2 y)}. 305. u = 8 e^{- 2}^(x⁺^{3 t)}.

306. u = 2 sen (3 x) e^-^{36 t}- 4 sen (5 x) e^-^{100 t}.

307. u = 8 cos (3 p x/4) exp [- (3 p/4)²] t - 6 cos (9 p x/4)exp[- (9 p/4)²] t.

308. u = 6 sen (p x/2) exp [- (p/2)²] t + 3 sen (px) exp(-p²) t.

309. a) parabólica. b) elíptica. 310. a) hiperbólica. b) parabólica.

311. parabólica sobre C_{(0, 0)}, r = 1; elíptica dentro del circulo x² + y² < 1, hiperbólica fuera de C_{(0, 0)}, r = 1.

312. parabólica sobre y = (x/2)², elíptica si y > (x/2)², hiperbólica si y < (x/2)².

313. a) x - c t = c₁, x + ct = c₂. b) t(x) =k.

314. dy/dx = [y ± (y² + x² - 1)^1/2]/(x² - 1).

Calculo Variacional

315. y =- x³. 316. y = senh (2 - x)/senh 1.

317. y = [1 + (3 ± 2 /Ö2) (2 x - 1)²]/[4 (Ö2 ± 1)].

318. y₁ =³Ö(x + 1)²; y₂ =³Ö(3 x + 1)². 319. y = (c ± x) sen x.

320. y = (1/2) [e^-^x+ (1 + e) x e^-¹ - 1]. 321. y = 7 x/6 - x³/6.

322. y = 13 x/6 - x³/6 + 2. 323. y = ln x.

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