Guías de trabajos prácticos, primera parte.
Ejercicios 1 al 95
Números complejos
Calcular la suma, diferencia, producto y cociente para cada par de complejos.
1. i; 2. 2.(1 + i); i.
3. (1 + i); (1 - i). 4. 5; (2 + i).
5. a) (3 - 2 i); (4 + i). b) (4 + 5 i); (1 - i).
Realizar las operaciones indicadas y expresar el resultado como x + i y.
6. (1, - 1)3 7. (3 - 4 i) (3 - 4 i) (3 + 4 i) (3 + 4 i)
(2, - 1)
8. (1, 2)4 9. (1, 1)- 2
Hallar las raíces de:
10. z2+ 2 z + 2 = 0 11. z2 + i z - 1 = 0
Calcular el módulo de:
12. (3 + 4 i) 13. (3 + 4 i) (1 + i)/(3 - 4 i)
14. [(x + i y)/(x - i y)]n n > 0, entero
Comprobar:
15. Re (z1 + z2) = Re z1+ Re z2 16. Im (z1 - z2) =Im z1- Im z2
17. (z + w)* = z* + w* 18. (z w)* = z* w*
19. (z / w)* = z*/w*
Representar en forma polar.
20. {i, i2, i3, i4, …}
21. a) (1 + i) b) (Ö3 + i) c) (- Ö3 - i)
Calcular empleando la forma polar.
22. a) (- Ö3 + i)3 b) (3 + 4 i)2 (1 + i)- 2
23. a) i (1 - i)2 b) i3 (1 + i)
Hallar todas las raíces.
24. i1/2 25. i2/3
26. (- 16)1/4 27. (- 8)1/3
Hallar todos los valores de:
28. (1 + i)2/3 29. (Ö3 + i)1/2
(1 + i)2
Regiones del plano Z
Describir geométricamente los siguientes conjuntos.
30. Re z = - 2 31. Re z = 3 Im z
32. Im z ³ Re z 33. |z + 3 - 4 i | > 5
34. z z* ³ 2 Re z 35. 3 < |z + 1 + i | < 4
Función compleja y su derivada
Expresar ¦(z) en forma binomica como w = u(x, y) + i v(x, y).
36. ¦(z) = (z - i)2 37. ¦(z) = |z|2 + i
38. ¦(z) = (z - 1) + i
39. ¦(z) = [(z*)- 2] + i 40. ¦(z) = z3
Expresar ¦(z) como función de z, z* y constantes.
41. ¦(z) = - 3 y + i (x2 + y2)
42. ¦(z) = - 2 x y + i (x2 + y2)
43. ¦(z) = x2 + i y2
44. ¦(z) = x2 + y2
Dar el dominio de definición de w = ¦(z).
45. w = |z| 46. w = 1/|z|
47. w = z/(z - z*) 48. w = (z - i)2
49. w = z - 1 + i 50. w = x2 - y2 + 2 i x y
Establecer los puntos del plano Z, donde existe la derivada de las
siguientes funciones.
51. w = z* 52. w = c
53. w = x2 - y2 - 2 i x y
54. w = x2 - y2 - 2 x y + i (2 x y + x2 - y2)
55. w = exp (|z - 1|)2
Determinar la región o dominio del plano Z, donde las siguientes funciones
son derivables y cuales de ellas son analíticas en algún dominio.
56. w = x + i y 57. w = 1/z
58. a) w = x2 + i y
b) w = x2 + i y3
59. w = z2
60. w = |z + 1|2
61. a) w = ex (cos y + i sen y)
b) w = ex (cos x + i sen y)
Armónicas conjugadas
Para que valores de z y n se satisface la ecuación de Laplace?
62. w = x4 - y3, Por que no es armónica?
63. w = xn - yn
Determinar si son armónicas y en que dominio.
64. w = x + y 65. w = x y
Obtener la armónica conjugada de:
66. w = x + y 67. w = x y
Comprobar que si u(x, y) y v(x, y) son armónicas conjugadas:
68. Ñ u .Ñ v = 0 i.e. u y v , son familias ortogonales de curvas.
Comprobar que:
69. Si ¦(z) = u + i v y g(z) = v + i u son analíticas Þ u y v, son constantes.
70. Si ¦(z) = u + i v y g(z) = u - i v son analíticas Þ u y v, son constantes.
71. Si |¦(z)| = k, constante en algún dominio en el que ¦(z) es analítica
Þ u y v, son constantes en ese dominio.
Funciones elementales
Expresar como w = u + i v.
72. a) w = e(3 + 4 i)
b) w = e(3 - 4 i) c) w = ei
d) w = e[1/(1 - i)]
Dar los valores de:
73. a) w = ei p
b) w = e- i p/2
c) w = ei /2
Hallar los valores de z en las siguientes ecuaciones.
74. a) ez = 1 b) ez = - 4 i
c) ez = 1 + i d) e i z = 1 + i
Hallar todas las raíces de:
75. a) cosh z = - 2 b) cos z = 2
c) cosh z = 1/2 d) senh z = i
e) sen z = cosh 4
Hallar el valor de:
76. a) ln (1) b) ln (- 1)
c) ln (i) d) ln (1 + i Ö3)
Usar logaritmo, para calcular:
77. a) ez = e(2 + i) b) (ez - 1)2 = e2 z
c) exp (ez) = 1
Hallar todos los valores de:
78. a) i i b) 2(1 + i)
c) (Ö3 + i) (1 + i) d) 2p
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones
79. a) cos w = 2 b) cosh w = i
Transformaciones mediante funciones
elementales
Dar la imagen de las regiones del plano Z que a continuación se
describen, con las transformaciones indicadas.
80. La franja infinita - 1 < x < 1 con w = i z
81. El semiplano x > 0 con w = i z + i
82. El semiplano y > 0 con w = (1 - i) z
83. La franja semiinfinita x > 0, 0 < y < 2
a) con w = i z + 1 b) con w = 1/z
84. La franja 0 < y < 1/2c con w = 1/z
85. x > 1, y > 0 con w = 1/z
86. El sector r < 1, 0 < q < p /4
a) con w = z2
b) con w = z3
c) con w = z4
87. La recta k y = x con w = ez
88. La franja semiinfinita x ³ 0, 0 £ y £ p
con w = ez
Dar las transformaciones lineales fraccionarias que
aplican los puntos indicados.
89. z1 = 2 z2 = i z3 = - 2
en w1 = 1 w2 = i w3 = - 1
90. z1 = - i z2 = 0 z3 = i
en w1 = -1 w2 = i w3 = 1
91. z1 = ¥ z2 = i z3 = 0
en w1 = 0 w2 = i w3 = ¥
Dar los puntos fijos de las transformaciones.
92. a) w = (z - 1)/(z + 1) b) w = (6 z - 9)/z
Dar la antiimagen de w = z2 para la región
que limitan por las rectas.
93. u = 1, u = 2, v = 1, v = 2
94. u = 0, u = 1, v = 0, v = 1
95. u = 1, v = 0, v = u
