Guías de trabajos prácticos, parte 3.
Ejercicios 173 al 263
Series e integrales de Fourier
Determinar la paridad de las siguientes funciones.
173. a) ¦(x) = tan x
b) ¦(x) = exp (x2)
c) ¦(x) = (x + 1)/(x - 1)
174. a) ¦(x) = ln |x|
b) ¦(x) = x/[(x + 1) (x - 1)]
c) ¦(x) = sen- 1 x
Descomponer las siguientes funciones,
en sus partes par e impar.
175. a) ¦(x) = x + 1 b) ¦(x) = ex
176. a) ¦(x) = (x + 1)/(x - 1) b) ¦(x) = 1/(x + 1)
177. a) ¦(x) = x cos x - cos 2 x b) ¦(x) = (x2+ 1)/(x - 1)
Dar los desarrollos de Fourier de las siguientes funciones.
- 1 si - p < x <0
178. ¦(x) = {
1 si 0 < x < p
179. ¦(x) = |x|, - p < x < p
180. ¦(x) = x - p < x < p
1 si - p < x < 0
181. ¦(x) = {
½ si 0 < x < p
182. ¦(x) = ex - p < x < p
183. ¦(x) = |sen x|
184. ¦(x) = x 0 < x < 1
x - 2 si 2 < x < 3
185. ¦(x) = {
4 - x si 3 < x < 4
Dar los desarrollos en serie doble de Fourier para
- p < x < p, - p < y < p, de las siguientes funciones.
186. F(x, y) = x 187. F(x, y) = x y2
Obtener la transformada de Fourier de
las siguientes funciones.
188. ¦(t) = 1, si | t | < a y ¦(t) = 0, si | t | > a
189. ¦(t) = 1/2 e, si | t | < 1, y ¦(t) = 0, si | t | > 1,
calcular lime®0 F(w)
190. ¦(t) =exp (- t2)
191. ¦(t) = 1/(1 + t2)
Transformada de Laplace
Obtener la transformada de Laplace
de las siguientes funciones.
192. a)¦(t) = 1 + et + e3t + sen 3 t b) ¦(t) = ea t + k
193. a) ¦(t) = 1 - cos 2 t + 2 t b) ¦(t) = sen2 t
194. a) ¦(t) = e- 4 t sen 4 t b) ¦(t) =e t sen (t - 1)
c) ¦(t) = sen [(2 n p t)/T ] d) ¦(t) =cos (w t - a)
195. ¦(t) = t e- t cos t
196. ¦(t) = (t - 1) u1(t)
197. ¦(t) = t u2(t)
198. ¦(t) = cos (t -p/2) up/2(t)
199. ¦(t) = sen t u1(t)
200. ¦(t) = t e2t¦'(t)
t
201. ¦(t) =ò0 u cos u du
3 si 0 < t < 1
202. ¦(t) = {2 si 1 < t < 2
0 si t > 2
1 si 0 < t < p
203. ¦(t) = { periódica
0 si p < t < 2 p
204. ¦(t) = sen2 t
205. ¦(t) = t, periodo p
Obtener la antitransformada.
206. F(s) = 1/(s + 1)
207. F(s) = 1/(s + 1)2
208. F(s) = (s + 1)/(s2+ 2 s - 4)
209. F(s) = e- 4 s/(s2+ 4)
210. F(s) = 1/(s - 2)(s + 3)
211. F(s) = 1/[s (s + 2)2]
212. F(s) = e- s/[s (s2 + 5 s + 4)]
213. F(s) = 2 s/[(s2 + 1)2]
214. F(s) = 4 s2/[(s2 + 1)2]
215. F(s) = e- s/[(s - 1)(s - 2)]
Con la transformada de Laplace, dar la solución
del problema de valor inicial.
216. y" + y = 2 y(0) = 0 y'(0) = 3
217. y" - 4 y = 0 y(0) = 0 y'(0) =- 6
218. y" + 2 y' + y = et y(0) = 0 y'(0) = 0
219. y" - k y' = 0 y(0) = 2 y'(0) = k
220. 9 y" - 6 y' + y = 0 y(0) = 3 y'(0) = 1
Funciones especiales
Usando las propiedades de la función G(x) calcular.
221. a) G(2) / 2G(3) b) G(5/2) / G (1/2) c) 6G(8/3) / 5G(2/3)
¥
222. a) ò0x3e- xdx
¥ ¥
b) ò0 x6 e- 2 xdx c) ò0Öy e- y2dy
Solución por series de ecuaciones
diferenciales
Con el método de las series de potencias, dar la solución
alrededor del punto x0= 0.
223. a) y'' + y = 0 b) y'' - y = 0
224. a) y'' - 3 x y = 0 b) y'' - 3 x y' - y = 0
225. a) (x2 + 1) y'' - 6 y = 0 b) 3 y'' - x y' + y = x2 + 2 x + 1
226. a) y'' + x y' - 2 y = ex b) y''' - 3 x y' - y = 0
Dar una solución en forma de serie de potencias,
alrededor del punto x0 = 1.
227. a) y' = c y c, constante
b) y' + y/x = 0
Dar los cuatro primeros términos no nulos, del desarrollo
en serie de la solución del problema de valores iniciales.
228. y'' + (sen x) y = 0 y(0) = 1 y'(0) = 0
229. 2 y'' - y' + (x + 1 ) y = 0 y(0) = 0 y'(0) = 1
230. (x + 1) y'' + y' + x y = 0 y(0) = y'(0) =-1
231. 2 y'' - x y = cos x y(0) = y'(0) = 0
Hallar y clasificar los puntos singulares de las
siguientes ecuaciones.
232. x3(x2- 1) y'' - x (x + 1) y' - (x - 1) y = 0
233. (3 x - 2)2x y'' + x y' - y = 0
234. a) x3(x - 1) y'' + (x - 1) y' + 2 x y = 0
b) x3 (x + 1)2 y'' - y = 0
235. (1 - x2) y'' - 2 x y' +l (l+ 1) y = 0 Ec. de Legendre
236. x2 y'' + x y' + (x2- l2) y = 0 Ec. de Bessel
Encontrar la ecuación indicial asociada con el punto
singular regular en x0= 0, para las siguientes ecuaciones.
237. a) x2 y'' + x y' - y = 0
b) x2 y'' - 2 x (x + 1) y' + (x - 1) y = 0
238. a) x2 y'' - 2 x y' + y = 0
b) x2 y'' - x y' + (x2-l2) y = 0
239. x y'' + (1 - x) y' +l y = 0
Utilizar el método de Frobenius para encontrar dos soluciones
linealmente independientes de las siguientes ecuaciones.
240. 2 x2 y'' + x y' - y = 0
241. 9 x2 y'' + 3 x (x + 3) y' - (4 x + 1) y = 0
242. x y'' + [(x + 1)/2] y' - y = 0
243. 8 x2 y'' - 2 x (x - 1) y' + (x + 1) y = 0
Encontrar dos soluciones linealmente independientes alrededor de
x0= 0 para cada una de las siguientes ecuaciones.
244. x (x - 4) y'' + (x - 2) y' - 4 y = 0
245. 2 x2y'' + 5 x y' - 2 y = 0
246. 8 x (x + 4) y'' - 8 y' + y = 0
Ecuación de Legendre
Con el método de Gram-Schmidt, ortogonalizar.
247. { 1, x, x2, ... }, en [-1, 1]
Con la formula de Rodrigue, obtenga.
248. P0(x), P1(x), P2(x), P3(x),
trace su gráfico en [-1, 1].
Verificar que:
249. P1(x) y P2(x), satisfacen las correspondientes
ecuaciones de Legendre.
Integrar n veces por partes Pm(x) . Pn(x), para obtener:
250. a) Pm(x) Pn(x) = 0, si m ¹ n
b) ||Pn(x)||2= 2/(2 n + 1)
Derivando la función generadora F(h, z) de los Pn(z),
con respecto a h y z, obtener las relaciones.
251. (n + 1) Pn + 1(z) - (2 n + 1) z Pn(z) + n Pn - 1(z) = 0
252. P'n(z) - 2 z P'n - 1(z) + P'n - 2(z) = Pn - 1(z)
Desarrollar en serie de Pn(x).
253. ¦(x) = - 1, si - 1 < x < 0, y ¦(x) = + 1,
si 0 < x < 1, tres primeros términos
Ecuación de Bessel
Calcular:
254. a) G(1) = 1
b) G(1/2) =Öp
c) lim0G(z) =¥
Demostrar:
255. a) J'o(x) =- J1(x)
b) J- n(x) = (- 1)n Jn(x)
c) [ x- p Jp(x) ]' =- x- p Jp + 1(x)
Expresar en términos de Jo(x) y J1(x).
256. a) J3(x) b) J4(x)
Con la función generadora demostrar:
257. Jk(x + y) = S Jj(x) Jk - j(y) .
Verificar que:
258. Jo(x), satisface x2 y'' + x y' + x2 y = 0.
Desarrollar.
259. a) Jo(x) b) J1(x).
En las siguientes ecuaciones, realizar la sustitución indicada
y resolver como ecuación de Bessel.
260. x2 y'' + x y' + (l2 x2-n2) y = 0 l x = z
261. 4x2 y'' + 4 x y' + (x -n2) y = 0 Öx = z
262. x2y'' + x y' + 4(x4-n2) y = 0 x2= z
263. x y'' - y' + x y = 0 y = x u
