Guías de trabajos prácticos parte 2.
Ejercicios 96 al 172
Integración en el campo complejo
Calcular la integral de línea entre los limites indicados y sobre la trayectoria dada.
96. ò x y dx sobre y = 1 - x2 de (0, 1) a (1, 0)
Si F(x, y) = x + y + 1, y C, la curva y = x2, calcular:
97. òc F(x, y) dx de (0, 0) a (1, 1)
98. òc F(x, y) dy de (0, 0) a (1, 1)
Si F(x, y) = x2 y, y C, la curva y2 + x2 = 1 en el primer cuadrante, calcular:
99. òc F(x, y) dx de (0, 1) a (1, 0)
100. òc F(x, y) dy de (0, 1) a (1, 0)
101. òc F(x, y) ds de (0, 1) a (1, 0)
Calcular sobre la curva y = x2.
102. ò (z2+ 1) dz de z = 0 a z = 1 + i
Calcular ò z* dz de z = 0 + i a z = 1 + 0 i sobre
las curvas indicadas.
103. a) y = 1 - x b) y = (1 - x)2
c) y = 1 - x2 d) y2 + x2 = 1
Calcular las siguientes integrales sobre las curvas y
entre los límites indicados.
104. ò ez dz
a) de z = 0 a z = 1 sobre y = 0
b) de z = 1 a z = 1 + i sobre x = 1
c) de z = 0 a z = 1 + i sobre y = x
Calcular como integral definida.
105. La integral del ejercicio 102.
106. La integral del ejercicio 104 c.
Usar la representación paramétrica z = z0 + r ei q
para resolver sobre las curvas indicadas.
107. ò [(z + 2)/z] dz
a) La semicircunferencia z = 2 ei q, con - p £ q £ 0
b) La semicircunferencia z = 2 ei q, con 0 £ q £ p
c) La semicircunferencia z = 2 ei q, con - p/2 £ q £ p/2
108. ò (z - 1) dz
a) La semicircunferencia z - 1 = ei q, con - p£ q £ 0
b) El segmento de recta y = 0, con 0 £ x £ 2
Fórmulas integrales de Cauchy
Con las fórmulas integrales de Cauchy calcular:
109. òc [z/(z - 1)] dz
con C : |z| = 2
110. òc [sen z/(z - 1) (z - i) ] dz
con C : |z| = 2
111. òc [1/ez (z - 1)] dz
con C : x2+ y2 = 2
112. òc [cosh z/(z2 - z - 2)] dz
con C : |z - 1| = 4
113. òc [(z - 1)/z (2 z2- 18)] dz
con C : |z - 2| = 3
114. òc [cos z/(z2+ 9)] dz
con C : |z - i| = 3
115. òc [tg (z/2)/(z - x0)2] dz
con, |x0| < 2 C : el cuadrado x = ± 2, y = ± 2
116. òc [ei z/z4] dz
con C : |z| = 1
117. òc [1/(z2+ 4)2] dz
con C : |z - i| = 2
118. òc {ez/[z (1 - z)3]} dz
con C : |z - 1| = 2
119. òc {cos z/[z2 (z - 1)3]} dz
con C : |z - 1| = 2
Aplicar el teorema del valor medio de Gauss para
calcular las siguientes integrales.
120. ò [exp] ei q dq entre 0 y 2 p
121. ò [cos q + i sen q] dq entre 0 y 2 p
122. ò cos (cos q) cosh (sen q) dq entre - p y p
Series de Taylor y Laurent
Desarrollar en serie de Taylor dando el dominio de convergencia.
123. ¦(z) = cos z entorno a z0 = p/2
124. ¦(z) = 1/z a) entorno a z0 = 1
b) entorno a z0= - 2
125. ¦(z) = 1/z2 a) obtener el desarrollo como [1/z] [1/z],
entorno a z0 = 1,
b) como [- 1/z]', entorno a z0 = 1,
126. ¦(z) = z2
a) sin usar la derivación, entorno a z0 = 1
b) con la formula del coeficiente de Taylor.
Desarrollar en serie de Taylor o Laurent, según corresponda,
dando el dominio de convergencia.
127. ¦(z) = 1/[z + 1]
a) valido para |z - i| < Ö2, con centro en z0 = i.
b) valido para |z -i| >Ö2, con centro en z0 = i.
128. ¦(z) = z/[(z - 1) (z - 2)]
a) con centro en z0 = 0, valido para |z| < 1.
b) con centro en z0 = 0, valido para 1 < |z| < 2,
c) con centro en z0= 0, valido para |z| > 2.
129. ¦(z) = 1/[z (z - 1)]
a) con centro en z0 = 0, valido para |z| < 1.
b) con centro en z0 = 1, valido para |z - 1| < 1
130. ¦(z) = [(ez- 1)/z]
con centro en z0 = 0
131. ¦(z) = [(sen z)/z3]
con centro en z0 = 0
132. ¦(z) = {[sen z - (z - 1)2]/z3}
con centro en z0 = 0
Ceros, polos y residuos
Encontrar el orden y la posición de los ceros
de las siguientes funciones.
133. a) ¦(z) = cos z b) ¦(z) = [(ez - 1)/z]
134. a) ¦(z) =ln (z) b) ¦(z) = z3 sen z
135. a) ¦(z) = (z - 1)3 (z - i)2ln (z - 1)
b) ¦(z) = (z - 1)3sen2 z
Determinar el orden y la posición de los polos
de las siguientes funciones.
136. ¦(z) = [(z - 1)2/(z - 3) (z - 2)2(z - 1)]
137. ¦(z) = [(e2 z)/(z2 - z + 1)]
138. ¦(z) = 1/sen2 z
139. ¦(z) = z/(z - sen z)
140. ¦(z) = (cosh z - 1)/(senh z - sen z)
141. ¦(z) = tg z/( sen z - z + z3/3!)
Calcular los residuos de las siguientes funciones
en todos sus polos.
142. a) ¦(z) = (z - 1)/(z + 1) b) ¦(z) = tg z
143. a) ¦(z) = 1/(z2 - 1)2 b) ¦(z) = 1/(z3 - i)
144. a) ¦(z) = z cos (1/z) b) ¦(z) = z/(cos z)
145. a) ¦(z) = (3 e2 z)/(z4) b) ¦(z) = tg z/sen2 z
146. a) ¦(z) = z/(z - sen z) b) ¦(z) = 1/[ln (z) (z2 + 1)
Calculo de integrales aplicando
el método de los residuos
Calcular las siguientes integrales usando
el teorema de los residuos.
147. La integral del ejercicio 109.
148. òc [1/sen z] dz con C : |z - 6| = 4
149. òc {[(z - 1) e(1/z)]/z} dz con C : |z| = 1/2
150. òc [1/ez(z2 - 1)] dz con C : |z - 1| = 3/2
151. òc [z2 e(1/z)] dz con C : |z| = 1/2
152. òc {1/[e(z - 1)(z - 1)2]} dz con C : |z - 1| = 1
153. òc [1/z3(z - 1)] dz con C : |z - 1| = 2
154. òc [ez/cosh z] dz con C : |z| = 5
Calcular las siguientes integrales empleando residuos.
2 p
155. ò0 [1/(5 - 4 cos q)] dq
p
156. ò0 [1/(3 + 2 cos q)] dq
2 p
157. ò0 [1/(5 - 4 sen q)] dq
p
158. ò0 [cos 2 q /(13 - 5 cos 2 q)] dq
¥
159. ò0 [1/(1 + x2)2] dx
¥
160. ò- ¥ [x/(x2 - 2 x + 2)2] dx
¥
161. ò- ¥ [x2/(x2 - 2 x + 2)2] dx
¥
162. ò- ¥ [ (1 + x2)/(1 + x4)] dx
¥
163. ò- ¥ [(cos 3 x)/(x2+ 4)] dx
¥
164. ò- ¥ [(x sen 3 x)/(x2+ 4)2] dx
¥
165. ò-¥ [(sen x)/(x2 + x + 1)] dx
¥
166. ò0 [(x sen x)/(x4+ 1)] dx
Mapeo Conforme
Indique donde son conformes los mapeos definidos
por las siguientes funciones.
167. a) w = ez b) w = sen z
168. a) w = 1/z b) w = z2 - z
Indique como afectan al ángulo formado por los ejes x-y,
en el primer cuadrante, los siguientes mapeos.
169. a) w = z3sen z b) w = z - sen z
170. a) w = ez - z b) w = exp (z2) - cos z
De el factor de escala y el giro de tangentes para los
siguientes mapeos, en los puntos indicados.
171. w = z3 + 4 z
a) en z0 = i b) en z1 = 1 + i
172. w = ez
a) en z0 = i p/4 b) en z1 = 1 + i p
c) en z2= 0
