Guías de trabajos prácticos, parte 4.
Ejercicios 264 al 323
Problema de Sturm-Liouville
Encontrar todas las soluciones de los siguientes problemas con valor en la frontera.
264. y'' + y = 0 y(0) = 1 y(p) = -1
265. y'' + l y = 0 y'(0) = 0 y'(p) = 0
266. y'' + l y = 0 y(0) = 0 y'(L) = 0
267. y'' + l y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0
268. y'' + l y = 0 y(0) = 0 y'(L) + c y(L) = 0
269. a) y'' + 9 y = 0 y'(0) = 0 y'(p) = 0
b) y'' + 9 y = 0 y(0) = 0 y(p) = 0
c) y'' + 9 y = 0 y(0) = 0 y(p) = 1
270. a) y'' + l y = 0 y(0) = 0 y'(1) = 0
b) y'' + l y = 0 y'(0) = 0 y'(1) = 0
c) y'' + l2 y = 0 y(-p) = y(p); y'(- p) = y'(p);
Encontrar los valores propios para:
271. El operador - D2, con las condiciones y(0) = y(p) = 0.
Expresar los siguientes operadores diferenciales lineales en forma autoadjunta.
272. D2 + (1/x) D + 1 x > 0
273. (cos x) D2+ (sen x) D - 1 - p/2 < x < p/2
274. x2 D2 + x D + (x2 - p2) x > 0, p ÎR
275. (1 - x2) D2- 2 x D + n (n + 1) -1 < x < 1 n, entero no negativo
Dar el desarrollo formal en serie de la solución, para los siguientes problemas con valor en la frontera, en términos de las funciones propias para el sistema de Sturm-Liouville asociado.
276. y'' = x (x - 2 p) y(0) = 0 y'(p) = 0
277. y'' = x2 - p2 y'(0) = 0 y(p) = 0
278. y'' = sen (p x/L) y'(0) = 0 y'(L) = 0
279. y'' = sen (p x/L) y(0) = 0 y'(L) = 0
- x si 0 < x < p/2
280. y'' = { y(0) = 0 y(p) = 0
x - p/2 si p/2 < x <p
281. a) y'' = - sen2x y(0) = y(p) y'(0) = y'(p)
b) Discutir las posibles soluciones de:
y'' = - h(x) y(0) = y(2 p), y'(0) = y'(2 p),
Obtener los valores propios y las funciones propias de los siguientes problemas con valor en la frontera.
282. y'' + (1 + l) y = 0 y(0) = 0 y(p) = 0
283. y'' + (1 - l) y = 0 y(0) = 0 y'(1) = 0
284. y'' + 2 y' + (1 - l) y = 0 y(0) = 0 y(1) = 0
285. y'' - 4 y' + (4 - l) y = 0 y(0) = 0 y(p) = 0
Conjuntos ortogonales de funciones
Encontrar, (f . g), ||f|| y ||g||, en C(0, 1) para cada uno de los siguientes pares de funciones.
286. a) f(x) = x g(x) = 1 - x2
b) f(x) = x g(x) = 1 - x
287. a) f(x) = sen (p x/2) g(x) = cos (p x/2)
b) f(x) = ex g(x) = sen x
288. f(x) = |x - 1/2| g(x) = 1/2 - |x - 1/2|
Encontrar f . g para cada uno de los siguientes pares de vectores en C(0, 1), cuando el producto interior esta definido con respecto a la función peso r(x) = ex.
289. a) f(x) = 1 - 2 x g(x) = e- x
b) f(x) = x2 g(x) = ex
290. a) f(x) = x g(x) = 1 - x
b) f(x) = cos (p x/2) g(x) = 1
291. f(x) =e- x/2sen (px/2) g(x) =e- x/2sen (3 px/2)
Ortogonalizar cada una de las siguientes bases en R3.
292. (1, 1, 0), (-1, 1, 0), (-1, 1, 1)
293. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (-1, 0, 1)
Ortogonalizar el conjunto
294. {1, x, x2, x3, ... ,}, en [- 1, 1]. (es el ejercicio 247.)
Ortogonalizar en C(0, 1), cada uno de los siguientes conjuntos.
295. a) ex, e- x b) ex, e2 x c) 1, 2 x, ex
Determinar la paridad de las siguientes funciones.
296. a) ¦(x) = tan x b) ¦(x) = exp (x2) c) ¦(x) = (x + 1)/(x - 1)
297. a) ¦(x) = ln |x| b) ¦(x) = x/[(x + 1) (x - 1)] c) ¦(x) = sen- 1x
298. a) ¦(x) = cos- 1x b) ¦(x) = x2/[(x + 1) (x - 1)] c) ¦(x) =¦(|x|)
Ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales
Separar las variables y obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
299. a) u'x- u'y= 0 b) u'x+ u'y= 0 c) x u'x- y u'y= 0
300. a) u'x- y u'y= 0 b) a y u'x- b x u'y= 0 c) u'x+ u'y= 2 (x + y) u
301. a) u''xx+ u''yy= 0 b) u''xy- u = 0 c) x2 u''xy+ 3 y2 u = 0
Resolver el problema del valor inicial.
302. 3 ux+ 2 uy= 0 u(x, 0) = 4 e- x
303. u'x= 4 u'y u(0, y) = 8 e- 3 y
304. u'x= 2 u'y + u u(x, 0) = 3 e- 5 x + 2 e- 3 x
305. u't= 3 u'x u(x, 0) = 8 e- 2 x
Resolver los siguientes problemas con valor en la frontera.
306. u't = 4 u''xx
u(0, t) = u(p, t) = 0 u(x, 0) = 2 sen (3 x) - 4 sen (5 x)
307. u't = u''xx
u'x(0, t) = u(2, t) = 0 u(x, 0) = 8 cos (3 px/4) - 6 cos (9 px/4)
308. u't = u''xx
u(0, t) = u(4, t) = 0 u(x, 0) = 6 sen (p x/2) + 3 sen (px)
Considerando D = B2 - 4AC, clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales según D < 0, D = 0 y D > 0, como elípticas, parabólicas o hiperbólicas.
309. a) u't = u''xx b) u"tt+ u''xx= 0
310. a) u"xx+ u''xy- 6u''yy b) u"xx+ 6 u''xy+ 9 u''yy
Determinar las regiones del plano x-y, en que las siguientes ecuaciones son, elípticas, parabólicas o hiperbólicas.
311. (x2 - 1) u"xx + 2 y u"xy- u"yy= 0
312. u"xx + x u"xy+ y u"yy- x y u'x= 0
Escribir la ecuación de las curvas características, para las siguientes ecuaciones.
313. a) u''xx= (1/c2)u"tt b) u't= u''xx
314. (x2 - 1) u"xx+ 2 y u"xy- u"yy= 0
Problemas
1. Encontrar la distribución de temperatura en una barra conductora aislada en toda su longitud L, cuando su temperatura inicial es:
x 0 < x < L/2
¦(x) = {
L - x L/2 < x < L
2. Encontrar la distribución de temperatura en una barra infinita cuya temperatura inicial es:
¦0 constante si |x| < 1
¦(x) = {
0 si |x| > 1
3. Encontrar la distribución de temperatura en una placa circular de radio r= 1, cuyas caras se mantienen aisladas, su contorno a temperatura cero, y su temperatura inicial es ¦(r).
4. Considerar un cilindro de radio y altura unidad cuya superficie es puesta a temperatura cero y su temperatura inicial es ¦(r, z), para determinar la distribución de temperatura.
5. Determinar la distribución de temperatura en una semiesfera de radio unidad cuya base se pone a temperatura cero y el casquete a temperatura constante To.
Calculo Variacional
Hallar las extremales de las siguientes funcionales.
0
315. J[y(x)] =ò- 1 (12 x y - y'2) dx y(- 1) = 1 y(0) = 0
2
316. J[y(x)] =ò- 1(y'2+ 2 y y' + y2) dx y(1) = 1 y(2) = 0
1
317. J[y(x)] =ò0Öy[1 + (y')2] dx y(0) = 1/Ö2 y(1) = 1/Ö2
1
318. J[y(x)] =ò0 y (y')2 dx y(0) = 1 y(1) = 3Ö4
p
319. J[y(x)] =ò0 [4 y cos x + (y')2- y2] dx y(0) = 0 y(p) = 0
1
320. J[y(x)] =ò0 [(y')2- y2- y] e2 x dx y(0) = 0 y(1) = e- 1
1
321. J[y(x)] =ò- 1 [(y')2- 2 x y] dx y(-1) =- 1 y(1) = 1
0
322. J[y(x)] =ò- 1 [(y')2- 2 x y] dx y(-1) = 0 y(0) = 2
e
323. J[y(x)] =ò1 [x (y')2+ y y'] dx y(1) = 0 y(e) = 1
Problemas
6. Determinar la curva y(x), con y(a) = y(- a), que por rotación, genera el sólido de revolución de superficie mínima.
7. Encontrar la curva, hacia la que debe deformarse un plano inclinado ideal, para obtenerse el descenso en tiempo mínimo.
8. Demostrar que la distancia mínima entre dos puntos, en coordenadas cartesianas, debe medirse sobre una recta.
